Derin Okuma — CDO Tranche Korelasyonu

Sigorta poliçelerinin sigortası

Londra'da bir yatırım bankasının sentetik masasında, 2005 sonbaharında bir yapılandırma uzmanı ekranındaki korelasyon kaydırıcısını 0,30'dan 0,45'e çekti. Aynı gün, aynı 100 şirket tahvilinden türetilen iki farklı tranche'in fiyatı zıt yönlere hareket etti. Teminat havuzunda tek bir kredi olayı bile gerçekleşmemişti. Değişen tek şey, bu 100 şirketin birlikte batma olasılığına dair bir varsayımdı.

Tranche yapısı, bir havuzun kayıplarını dilimlere böler. En alttaki dilim ilk kayıpları emer, en üstteki dilim ancak havuzun neredeyse tamamı çöktüğünde devreye girer. Mimari, korelasyonun düşük olduğu bir dünyada mükemmel çalışır. Peki korelasyon yükseldiğinde ne olur?

Havuzun altındaki gizli kaldıraç

Bir CDO tranche'i, aslında bir kredi temerrüt takası portföyünün belirli bir dilimine yazılmış opsiyondur. Senior tranche satıcısı, havuzdaki ilk yüzde 3'lük kaybı üstlenen equity tranche sahibine adeta sigorta primi öder. Prim, korelasyonun düşük olduğu varsayımıyla fiyatlanır. Yapılandırma masasında bu prim, yıllık 400-800 baz puan aralığında teklif edilir. Equity tranche'in beklenen getirisi, riski nedeniyle hisse senedine yakın bir profil taşır.

Korelasyon düştüğünde, kayıplar havuzda dağılır ve equity tranche hızla tükenir. Korelasyon yükseldiğinde ise kayıplar kümelenir, equity tranche beklenmedik şekilde ayakta kalır ama senior tranche'ler sarsılır. Aynı havuz, aynı temerrüt oranı, iki farklı korelasyon varsayımıyla taban tabana zıt sonuç üretir. İlginç olan şu, equity tranche yatırımcısı aslında yüksek korelasyonu ister. Kayıplar kümelenirse ilk yüzde 3'lük dilim atlanabilir ve equity sahibi primini korur.

O yüzden tranche fiyatlaması, temerrüt olasılığından çok korelasyona duyarlıdır. Bir yapılandırma masasında korelasyonu 5 puan yanlış tahmin etmek, senior tranche'in değerini yüzde 20'ye kadar kaydırabilir. Temerrüt oranındaki aynı büyüklükteki hata ise etkiyi yarıya indirir. Asimetri, masadaki risk yöneticisinin en çok korelasyona baktığı anlamına gelir. Günlük risk raporlarının ilk satırı korelasyon varsayımıdır.

Asimetrinin kökeni, tranche'lerin birbirine bağlı opsiyon zinciri olmasında yatar. Equity tranche, havuza yazılmış bir alım opsiyonuna benzer. Senior tranche ise aynı havuzun kuyruğuna yazılmış bir satım opsiyonudur. İki opsiyonun deltası zıt işaretlidir. Korelasyon arttığında, kuyruk olasılığı şişer ve senior tranche'in koruma maliyeti yükselir. Aynı anda equity tranche'in beklenen kaybı düşer çünkü kayıplar artık ilk yüzde 3'te değil, havuzun ortasında yoğunlaşır.

Zıt işaret, tranche yapısını bir "korelasyon vadeli işlemi" haline getirir. Equity tranche satın almak, korelasyon üzerine uzun pozisyon açmak gibidir. Senior tranche satın almak ise kısa pozisyondur. Bir yapılandırma masası bu iki bacağı birleştirerek korelasyon arbitrajı yapabilir. Ancak işlem maliyetleri ve likidite kısıtları, bu arbitrajı çoğu zaman teorik bırakır.

O yüzden bir CDO masasında iki farklı kitap tutulur. Birincisi temerrüt olasılığına göre fiyatlanır, ikincisi korelasyona göre. İkinci kitap, birincisinden çok daha oynaktır. Temerrüt olasılığı yılda birkaç kez revize edilirken, korelasyon varsayımı günlük olarak güncellenir. Çünkü piyasa, tek tek şirketlerin kredi kalitesinden çok, hepsinin aynı anda sarsılma ihtimalini fiyatlar.

Gaussian copula nasıl çalışır

2000'lerin başında Li'nin geliştirdiği Gaussian copula modeli, her şirketin temerrüt zamanını tek boyutlu bir rastgele değişkene indirger. Değişkenler, ortak bir korelasyon matrisiyle birbirine bağlanır. Model, karmaşık bir bağımlılık yapısını tek bir sayıya sıkıştırır. Wall Street bu modeli "the formula that killed Wall Street" olarak anacak kadar hızlı benimsedi.

Günlük benzetmeyle, bu bir sınıftaki öğrencilerin sınavdan kalma zamanlarını tahmin etmeye benzer. Her öğrencinin kendi çalışma temposu vardır ama sınav zorluğu hepsini aynı anda etkiler. Copula, bu ortak etkiyi tek bir korelasyon katsayısıyla temsil eder. Öğrencilerin çoğu ortalama etrafında toplanır, ancak bir kısmı sınavın zorluğundan bağımsız olarak kendi başına kalır.

Modelin cazibesi basitliğinde yatıyordu. Yüzlerce kredi içeren bir havuzun kayıp dağılımı, tek bir parametreyle hesaplanabiliyordu. Bu, tranche fiyatlamasını saniyeler içinde yapılabilir hale getirdi. Ama basitlik, aynı zamanda körlük demekti. 2003-2005 arasında modelin kullanımı, CDO ihraç hacminin yıllık yüzde 200 büyümesiyle paralel gitti.

Mekaniğe biraz daha yakından bakalım. Model, her kredi için tek bir gizli değişken üretir. Değişken, şirketin "kredi kalitesi skoru" gibi düşünülebilir. Skor, önceden belirlenmiş bir eşiğin altına düştüğünde şirket temerrüde düşer. Eşik, şirketin tek başına temerrüt olasılığından türetilir.

Örneğin yıllık yüzde 2'lik bir temerrüt olasılığı, standart normal dağılımda yaklaşık -2,05'lik bir eşiğe karşılık gelir. Yüzde 1'lik bir olasılık ise yaklaşık -2,33'lük bir eşik üretir. Eşikteki her 0,1'lik kayma, temerrüt olasılığını yaklaşık 40 baz puan oynatır.

Korelasyon, bu gizli değişkenlerin ortak hareketini belirler. Korelasyon 0,30 ise, her şirketin skoru büyük ölçüde kendi başına hareket eder, sadece küçük bir kısmı ortak faktörden gelir. Korelasyon 0,80 ise, skorların büyük kısmı ortak faktör tarafından sürüklenir. Model, bu ortak faktörü tek bir sayıyla temsil eder. Pratikte model, iki faktörlü bir yapıya kadar genişletilebilir. Birinci faktör genel piyasa, ikinci faktör sektör etkisidir. Ancak çoğu masa, tek faktörlü versiyonu tercih etti çünkü kalibrasyonu daha hızlıydı.

Hesaplama tarafında, model iki aşamalı çalışır. Birinci aşamada, her kredi için marjinal temerrüt dağılımı belirlenir. İkinci aşamada, bu marjinal dağılımlar bir korelasyon matrisiyle birleştirilir. Sonuç, havuzun toplam kayıp dağılımıdır. Dağılımdan tranche'lerin beklenen kayıpları okunur. 100 kredilik bir havuz için bu hesap, 1990'ların donanımıyla bile saniyeler sürerdi. 000'e kadar düşürebiliyordu.

Modelin bir başka cazibesi, kalibrasyon kolaylığıydı. Piyasada işlem gören tranche fiyatlarından geriye doğru korelasyon çıkarılabiliyordu. Buna "implied correlation" denir. Yapılandırma masası, piyasanın korelasyonu kaç varsaydığını her sabah bu yöntemle okuyabiliyordu. Sorun şuydu, farklı tranche'lerden çıkarılan implied correlation değerleri birbiriyle tutarlı değildi. Equity tranche 0,25 ima ederken, senior tranche 0,60 ima edebiliyordu.

Tutarsızlık, modelin temel bir kusurunu işaret ediyordu ama piyasa bunu görmezden geldi. Olguya literatürde "korelasyon gülüşü" (correlation smile) denir. Yapılandırma masası, gülüşü düzleştirmek yerine tranche bazlı ayrı korelasyonlar kullanmayı tercih etti. Böylece her tranche, kendi fiyatını haklı çıkaran bir parametreyle fiyatlandı.

Modelin kör noktası

Gaussian copula, kuyruk bağımlılığını yakalayamaz. Yani piyasa sakin seyrederken korelasyon düşük görünür, kriz anında ise tüm krediler aynı anda sarsılır. Model bu rejim değişimini fiyatlayamaz çünkü korelasyonu sabit varsayar. Aslında model, korelasyonun kendisini değil, korelasyonun bir dönüşümünü sabit tutar. Dönüşüm, normal dağılımın kuyruklarında doğrusal olmayan davranış sergiler.

Gerçek dünyada korelasyon, stres anında yükselir. 2007 ortasında ABD konut piyasası sarsıldığında, birbirinden bağımsız görünen kredilerin temerrütleri aynı haftalarda kümelenmeye başladı. Modelin öngördüğü yüzde 0,30'luk korelasyon, gerçekte yüzde 0,80'in üzerine çıktı. Sıçrama, doğrusal bir artış değil, eşik davranışıydı. Piyasa belli bir stres seviyesine ulaştığında korelasyon ani olarak sıçradı.

Sapma, tranche yapısının en hassas noktasını vurdu. Senior tranche'ler, düşük korelasyon varsayımıyla "güvenli" fiyatlanmıştı. Korelasyon patladığında bu dilimlerin değeri, modelin öngördüğünden kat kat hızlı eridi. Sigorta satan taraf, beklenmedik bir hızla sermaye kaybetti. AAA notlu senior tranche'ler, birkaç hafta içinde BB seviyesine düştü. Düşüşün hızı, modelin öngördüğü senaryolardan 5-10 kat daha hızlıydı.

Kuyruk bağımlılığının teknik adı "tail dependence"dir. İki değişkenin aynı anda uç değerlere gitme olasılığını ölçer. Gaussian copula'da bu değer sıfırdır. Yani model, iki şirketin aynı hafta içinde temerrüde düşmesini neredeyse imkansız görür. Gerçek piyasada ise bu tür eşzamanlı çöküşler, kriz dönemlerinde kural haline gelir. Kuyruk bağımlılığı katsayısı, Student-t copula'da 0,20-0,40 aralığında seyrederken Gaussian'da tam sıfırdır.

Alternatif modeller vardı. Student-t copula, kalın kuyrukları ve pozitif kuyruk bağımlılığını yakalayabiliyordu. Clayton copula, alt kuyruk bağımlılığını doğrudan modelliyordu. Marshall-Olkin copula, ani ortak şokları modelleyebiliyordu.

Ama bu modellerin kalibrasyonu daha zordu ve piyasa, kolay olanı seçti. 2005'te bir yapılandırma masasında Student-t copula kullanmak, rakiplerinize karşı fiyat avantajı kaybetmek anlamına geliyordu. Çünkü Student-t, daha yüksek korelasyon varsaydığı için senior tranche'i daha pahalı fiyatlıyordu. Piyasa, ucuz olan hikayeyi tercih etti. Bir yapılandırma masasında 5 baz puanlık fiyat avantajı, yıllık 50 milyon dolarlık ihraç hacminde 2,5 milyon dolarlık gelir farkı demekti.

Bir başka kör nokta, korelasyonun homojenliğiydi. Model, tüm kredi çiftleri için tek bir korelasyon varsayar. Gerçekte ise aynı sektördeki şirketler birbirine daha bağlıdır. Bir havuzda 20 finans şirketi ve 80 sanayi şirketi varsa, finans şirketleri arasındaki korelasyon 0,70 iken, sanayi şirketleri arasındaki korelasyon 0,20 olabilir. Sektörler arası korelasyon ise 0,35 civarında seyreder. Model bu yapıyı görmez, ortalamayı alır.

Kriz anında finans şirketleri birlikte çöktüğünde, modelin ortalaması anlamsız kalır. Modelin ortalaması 0,30 iken, etkin korelasyon 0,55'e çıkar çünkü ağırlık finans şirketlerine kayar.

Coğrafi yoğunlaşma da benzer bir tuzaktır. ABD'nin dört farklı bölgesinden seçilmiş krediler, coğrafi olarak bağımsız görünür. Ancak ulusal bir konut durgunluğu, tüm bölgeleri aynı anda vurur. Model, coğrafi çeşitlendirmeyi korelasyon düşürücü olarak okur. Gerçekte ise makro şoklar, coğrafi sınırları aşar. 2007'de Florida, Kaliforniya, Nevada ve Arizona konut piyasaları, farklı dinamiklere sahip olmalarına rağmen aynı çeyrekte çöktü.

Piyasa Hafızası - 2008 Gaussian copula çöküşü

2008 yılında, AIG'nin finansal ürünler birimi, Gaussian copula ile fiyatlanmış milyarlarca dolarlık CDO tranche'ine kredi koruması satmıştı. Model, havuzdaki kredilerin korelasyonunu tarihsel verilere dayanarak düşük varsayıyordu. Konut temerrütleri kümelenmeye başladığında, modelin öngörmediği bir hızla senior tranche'ler değer kaybetti.

Eylül 2008'de AIG, bu pozisyonlar yüzünden federal hükümet tarafından 85 milyar dolarlık kurtarma paketiyle desteklendi. Modelin temel hatası, korelasyonu sabit bir parametre olarak görmesiydi. Gerçek piyasada korelasyon, stres anında yükselen bir değişkendir. Ders şudur, bir modelin basitliği, onu doğru yapmaz.

Küçük Bir Hesap

Sayılar temsili, mantık gerçek. Aynı yüzde 5'lik temerrüt oranı, korelasyon 0,30'dan 0,80'e çıktığında senior tranche'e 40 milyon dolarlık beklenmedik kayıp yükler. Duyarlılık burada yatar, temerrüt oranındaki 1 puanlık değişim senior tranche'i yüzde 0,8 etkilerken, korelasyondaki 0,10'luk değişim etkiyi yüzde 1,3'e çıkarır.

Duyarlılığı biraz daha açalım. Senior tranche'in değeri, korelasyona karşı doğrusal değil, dışbükey tepki verir. Korelasyon 0,30'dan 0,40'a çıktığında senior tranche değeri yüzde 3 kaybeder. 0,60'tan 0,70'e çıktığında ise yüzde 12 kaybeder. Aynı 0,10'luk hareket, korelasyon seviyesine göre dört kat farklı etki üretir. Dışbükeylik, tranche'in bir opsiyon olduğunun matematiksel kanıtıdır. Dışbükeylik, modelin gamma'sına karşılık gelir ve risk yöneticisinin en zor kapattığı pozisyondur.

Bir başka duyarlılık ekseni, havuzun homojenliğidir. 100 kredilik homojen bir havuzda korelasyon 0,30 iken, 20 kredilik yoğunlaşmış bir havuzda aynı ortalama korelasyon çok daha yüksek kayıp üretir. Çünkü az sayıda kredi, ortak faktörün etkisini büyütür. Bir yapılandırma masasında havuzu 100'den 50 krediye indirmek, aynı korelasyon varsayımıyla senior tranche riskini kabaca yüzde 40 artırır. Havuzu 200 krediye çıkarmak ise riski yaklaşık yüzde 25 azaltır ancak getiriyi de aynı oranda seyreltir.

Üçüncü bir duyarlılık ekseni, tranche kalınlığıdır. Equity dilimini yüzde 3'ten yüzde 5'e çıkarmak, senior tranche'i korur ama equity yatırımcısının beklenen kaybını artırır. Yapılandırma masası bu kalınlığı, hedef ratingi tutturmak için ayarlar. AAA notu için senior tranche'in yeterince korunmuş olması gerekir. Korelasyon varsayımı düşük tutulursa, aynı AAA notu daha ince bir senior dilimiyle elde edilir. Bu, ihraççı için daha fazla gelir demektir. Rating kuruluşları, modelin korelasyon varsayımını denetlemek yerine, ihraççının sunduğu varsayımı kabul ediyordu.

Üç katmanlı okuma

Birincisi, tranche yapısı temerrüt riskini değil, korelasyon riskini satar. Senior tranche'in "güvenliği", havuzdaki kredilerin bağımsız hareket ettiği varsayımına dayanır. Varsayım çöktüğünde, en üstteki dilim bile sarsılır. O yüzden bir CDO'nun gerçek riski, portföyün içeriğinde değil, içeriğin ne kadar bağlantılı olduğunda gizlidir.

İkincisi, Gaussian copula gibi modeller, korelasyonu sabit parametre olarak ele alır. Gerçek piyasada korelasyon, stres anında yükselen bir rejim değişkenidir. Modelin kör noktası, tam da kriz anında ortaya çıkar. Modeli seçerken sorulacak soru, "ne kadar doğru" değil, "hangi koşulda yanlış" olmalıdır.

Üçüncüsü, bir yapılandırma masasında korelasyon kaydırıcısını 5 puan oynatmak, milyonlarca dolarlık değer transferi demektir. Transfer, hiçbir kredi olayı gerçekleşmeden gerçekleşir. Korelasyon, görünmez ama en güçlü fiyat motorudur. Aynı zamanda en tehlikeli olandır çünkü hiçbir bilanço satırında doğrudan görünmez.

Tranche yapısının gizli motoru, temerrüt oranı değil, kredilerin birlikte nefes almasıdır.