Derin Okuma — Varyans Swap

Sigorta poliçesi gibi görünen bir sözleşme

Bir emtia masasında çalışan türev trader'ı, 2007 sonbaharında ekranında tuhaf bir şey görür. VIX 11 seviyesinde sürünürken, üç aylık varyans swap kotasyonu 14-15 bandında işlem görüyor. Yani piyasa, "önümüzdeki üç ayda gerçekleşecek oynaklık" için bugünkü seviyenin belirgin üstünde fiyat biçiyor. Trader'ın kafasında tek bir soru belirir. Fark, sadece risk primi mi, yoksa birileri bir şeyi yanlış mı fiyatlıyor?

Varyans swap'ın cazibesi tam da buradadır. Opsiyon almadan, delta hedge etmeden, sadece "oynaklık artacak mı azalacak mı" sorusuna pozisyon alırsın. Ama işin içine girdiğinde, sözleşmenin mekaniği seni beklediğinden çok daha derin bir kuyuya çeker. Kotasyon ile gerçekleşme arasındaki o 3-4 puanlık makas, aslında tüm hikayenin özetidir.

Varyans neden oynaklıktan farklı bir hayvandır

Oynaklık, getirilerin standart sapmasıdır. Varyans ise bunun karesidir. Kulağa önemsiz bir matematik detayı gibi gelir, ama türev fiyatlamasında bu kare alma işlemi her şeyi değiştirir. Şöyle düşün. Bir hisse %10 düşüp %10 çıkarsa, ortalama getirisi sıfırdır ama standart sapması pozitiftir. Varyans bu dalgalanmanın "ne kadar şiddetli" olduğunu ölçer, yönünü değil.

Sözleşme yapısı basittir. İki taraf, belirli bir dönem boyunca gerçekleşen varyansın ortalaması üzerine bahse girer. Alıcı, gerçekleşen varyansın strike'ın üzerinde çıkacağına inanır. Satıcı tersini düşünür. Vade sonunda fark, vega notional denilen bir çarpanla nakde çevrilir. Notional'ın "vega" cinsinden ifade edilmesi tesadüf değildir. Sözleşme varyans üzerine kuruludur ama risk, oynaklık cinsinden ölçülür.

Kritik nokta şurada. Varyans swap, oynaklığın kendisini değil, oynaklığın karesini takas eder. O yüzden doğrusal değildir. Oynaklık %20'den %30'a çıktığında, varyans %400'den %900'e çıkar. Aradaki fark, sözleşmenin convexity'sini oluşturur ve bu convexity, fiyatlamanın en zor kısmıdır.

Convexity'nin pratik sonucu şudur. Varyans swap'ın deltası sabit değildir. Oynaklık yükseldikçe, alıcının kazancı hızlanır. Oynaklık düştükçe, kaybı yavaşlar. Asimetri, sözleşmeyi bir tür "oynaklık üzerine call opsiyonu" gibi davranmaya iter. Ama tam olarak call değildir, çünkü getiri profili doğrusal değil, karesel bir eğri izler.

Vega notional ile varyans notional arasındaki ilişki burada belirleyici hale gelir. Tipik bir sözleşmede vega notional, varyans notional'ın iki katı strike'a bölünmesiyle elde edilir. Strike 400 (yani %20 oynaklık) ise, 1 milyon dolarlık vega notional yaklaşık 50 milyon dolarlık varyans notional'a karşılık gelir. Uzlaşma ödemesi, varyans farkı ile vega notional'ın strike'ın iki katına bölünmesiyle hesaplanır.

O yüzden strike yükseldikçe, aynı vega notional için her bir varyans puanının dolar değeri düşer. Aynı 100 puanlık varyans sıçraması, %20 strike'ta %25 strike'a göre kabaca %25 daha fazla ödeme yaratır. Detay, pozisyon boyutlamasında sık atlanır.

Gerçekleşen varyans nasıl hesaplanır

Uzlaşma değeri, günlük getirilerin karelerinin toplamına dayanır. Formül kabaca şöyledir. Her işlem günü için logaritmik getiriyi al, karesini hesapla, yıllıklandırma faktörüyle çarp, tüm günleri topla. Çıkan sayı, o dönemde gerçekleşen yıllıklandırılmış varyanstır. Yıllıklandırma faktörü genellikle 252 bölü gözlem sayısıdır. Üç aylık bir sözleşmede gözlem sayısı tipik olarak 63 civarındadır.

Burada operasyonel bir tuzak var. Getirilerin hangi saatte ölçüldüğü sonucu ciddi biçimde değiştirir. Kapanış-kapanış getirisi mi, açılış-kapanış mı, yoksa gün içi yüksek-düşük aralığı mı kullanılıyor? ISDA standart sözleşmelerinde genellikle kapanış-kapanış logaritmik getiri kullanılır, ama tezgah üstü işlemlerde bu tanım müzakere edilebilir. Açılış-kapanış kullanılırsa, gece boyunca oluşan haber etkisi tamamen dışarıda kalır ve ölçülen varyans sistematik olarak düşer. S&P 500 için yapılan çalışmalarda, gece getirisinin toplam varyansa katkısı %15-20 bandına kadar çıkabilir. Kısım dışarıda bırakılırsa, gerçekleşen varyans aynı dönemde birkaç puan düşük çıkar ve varyans satıcısının lehine işler.

İkinci tuzak, eksik günlerdir. Resmi tatil, teknik arıza veya borsa kapanışı olduğunda o günün getirisi sıfır sayılır mı, yoksa iki günlük getiri tek günmüş gibi mi işlenir? Seçim, yıllıklandırılmış varyansı %2-3 puan oynatabilir. Küçük görünür, ama vega notional milyonlarca dolara ulaştığında bu fark ciddi para eder. Daha ince bir detay, gözlem sayısının sabit mi yoksa değişken mi olduğudur. Bazı sözleşmelerde payda, işlem günü sayısına göre değil, takvim günü sayısına göre sabitlenir.

Tercih, tatil yoğun bir çeyrekte sonucu belirgin biçimde kaydırır. Aralık-Şubat dönemi gibi tatilin yoğunlaştığı çeyreklerde, sabit payda kullanımı gerçekleşen varyansı %1-2 puan aşağı çekebilir.

Üçüncü tuzak, ağırlıklandırmadır. Eşit ağırlıklı basit ortalama mı, yoksa son günlere daha fazla ağırlık veren üstel bir şema mı kullanılıyor? Standart sözleşmeler eşit ağırlık kullanır.

Ama bazı kurumlar, gerçekleşen varyansı hesaplarken EWMA (üstel hareketli ortalama) tercih eder. Fark, vade sonuna yakın bir oynaklık patlamasında dramatik hale gelir. Eşit ağırlıkta son günün etkisi 1/63, yani kabaca %1,6'dır. EWMA'da bu oran %5-10'a çıkabilir. Vade bitmeden iki gün önce bir sıçrama olursa, eşit ağırlık bunu neredeyse görmez, EWMA ise uzlaşmayı belirgin biçimde şişirir.

Dördüncü tuzak, gözlem frekansıdır. Günlük mü, beş dakikalık mı, yoksa tik verisi mi kullanılıyor? Teorik olarak daha sık gözlem, gerçek varyansa yakınsar. Pratikte ise mikro yapı gürültüsü devreye girer. Alış-satış spread'i, fiyat sıçramaları ve bid-ask bounce, yüksek frekanslı veride sahte varyans üretir. Beş dakikalık veride bu gürültü, gerçek varyansın %10-20'si kadar fazla ölçüme yol açabilir.

O yüzden standart sözleşmeler günlük kapanışı tercih eder. Daha sık gözlem isteyen taraf, mikro yapı düzeltmesi için ayrı bir model kurmak zorunda kalır.

Strike neden teorik değerinden sapar

Teorik olarak varyans swap'ın adil strike'ı, bir dizi opsiyonun fiyatından çıkarılabilir. Statik replikasyon denilen bu yöntemde, tüm strike'lardaki opsiyonları alıp ağırlıklandırarak sürekli bir portföy kurarsın. Ağırlık, 1 bölü strike'ın karesiyle orantılıdır. Sonuç, modelden bağımsız bir varyans fiyatı verir. Güzel bir teoridir.

Pratikte ise piyasa fiyatı bu teorik değerden sistematik olarak sapar. Sebep, varyans risk primidir. Yatırımcılar, ani çöküşlere karşı korunmak için varyans satın almaya istekli olduğundan, varyans swap'lar genellikle teorik değerinin üzerinde işlem görür. Prim, sakin piyasalarda %10-20 arasında olabilir. Kriz dönemlerinde ise tersine döner ve varyans satıcıları prim talep eder. Dönüş, piyasanın "sigorta satan taraf" ile "sigorta alan taraf" arasındaki güç dengesinin ne kadar hızlı kaydığını gösterir.

2017'de VIX 9-10 bandında sürünürken, üç aylık varyans swap kotasyonu 12-13 civarında işlem görüyordu. Yani prim, gerçekleşen oynaklığın %30 üzerindeydi. Şubat 2018'de VIX iki günde 50'ye fırladığında ise prim işareti değişti ve satıcı taraf fiyatlama gücünü kaybetti.

Üçüncü tuzak, jump riskidir. Varyans swap, sürekli fiyat hareketlerini varsayar. Ama piyasa bir günde %5 düşerse, bu tek başına varyansı ciddi biçimde şişirir. Sürekli modeller bu tür sıçramaları hafife alır. O yüzden varyans swap satıcıları, jump riskini fiyatlamak için ek prim ister.

Jump'ın etkisini somutlaştıralım. Normal bir günde %1'lik bir hareket, varyansa 0,0001 katkı yapar. Tek bir %5'lik sıçrama ise 0,0025 katkı yapar, yani normal bir günün 25 katı. Üç aylık bir sözleşmede bir tane böyle sıçrama, toplam gerçekleşen varyansı %10-15 yukarı çekebilir.

O yüzden varyans satıcıları, "sıçrama sigortası" için ayrı bir prim talep eder. Prim, sözleşmenin fiyatına gizli bir opsiyon primi olarak gömülür. Sıçramanın büyüklüğü kritiktir. %3'lük bir sıçrama varyansa 0,0009 katkı yapar, yani normal günün 9 katı. %8'lik bir sıçrama ise 0,0064 katkı yapar, normal günün 64 katı. Aynı büyüklükte iki sıçrama, tek sıçramanın dört katı katkı üretir, çünkü varyans kareleri toplar.

Dördüncü tuzak, korelasyondur. Endeks varyansı ile tek hisse varyansları arasındaki ilişki, doğrusal değildir. Endeks varyansı, ortalama varyans artı ortalama korelasyona bağlıdır. Korelasyon kriz anlarında yükselir, sakin dönemlerde düşer. Bir sepetteki 50 hissenin ortalama varyansı %30, ortalama korelasyonu 0,3 ise endeks varyansı kabaca 0,09 + 0,3 × 0,09 = 0,117, yani %34 oynaklığa denk gelir. Korelasyon 0,3'ten 0,7'ye çıktığında, ortalama varyans hiç değişmese bile endeks varyansı 0,09 + 0,7 × 0,09 = 0,153'e, yani %39 oynaklığa fırlar. Aynı hisse senedi oynaklıkları, endekste 5 puanlık bir sıçrama yaratır.

O yüzden endeks varyansı satan bir trader, aslında hem varyans hem de korelasyon riski taşır. Korelasyon sıçraması, varyans sıçramasından bağımsız olarak zarar yaratabilir. Bu, 2008'de birçok fonun gözden kaçırdığı en kritik detaydı. Korelasyon ve varyans arasındaki ilişki asimetriktir. Korelasyon yükselirken varyans da yükselir, ama varyans yükselirken korelasyon her zaman yükselmez. Asimetri, endeks varyansı satıcısının kaybını tek yönlü hale getirir.

Tek hisse varyansı satan trader, bu korelasyon katmanına maruz kalmaz. İki pozisyon aynı görünür, ama risk profilleri temelden farklıdır.

Piyasa Hafızası - 2008 varyans swap krizi

Eylül 2008'de Lehman Brothers'ın çöküşüyle birlikte, varyans swap piyasası tarihinin en sert sınavını verdi. Lehman, varyans swap'ların en büyük satıcılarından biriydi. Karşı taraf riski bir anda somutlaştı. Aynı hafta VIX 20'lerden 80'e fırladı, gerçekleşen varyans ise teorik modellerin öngördüğü üst bandı paramparça etti.

Sorun sadece fiyat değildi. Lehman'ın iflasıyla birlikte, varyans swap pozisyonlarının karşı tarafı belirsizleşti. ISDA protokolü çerçevesinde pozisyonlar kapatılmaya çalışıldı, ama piyasa derinliği buharlaşmıştı. Birçok fon, teorik olarak hedge'li olduğunu düşündüğü varyans pozisyonlarında, karşı taraf riski yüzünden ciddi zarar yazdı.

Ders nettir. Varyans swap, oynaklık riskini transfer eder ama karşı taraf riskini ortadan kaldırmaz. Model ne kadar zarif olursa olsun, karşı tarafın ödeme gücü modelin dışındadır. 2008 sonrası piyasada merkezi takas zorunluluğu ve teminatlandırma standartları bu yüzden sıkılaştırıldı.

Küçük Bir Hesap

Temsili bir varyans swap işleminin ekonomisini görelim. Sayılar temsili, mantık gerçek.

Duyarlılık twistine bakalım. Gerçekleşen varyans 625 yerine 900 olsaydı (yani %30 oynaklık), ödeme 5.000.000 USD'ye çıkardı. Oynaklık %25'ten %30'a, yani sadece 5 puan artınca, ödeme iki katından fazla büyüdü. İşte varyans swap'ın convexity'si budur. Oynaklıktaki küçük bir artış, varyans cinsinden devasa bir sıçrama yaratır.

Ters yönde de aynı mekanizma çalışır. Gerçekleşen varyans 400'ün altına düşerse, alıcı zarar yazar. Ama zarar, kazanç tarafındaki kadar hızlı büyümez. Asimetri, varyans swap'ı satıcı için cazip, alıcı için pahalı kılar. Prim tam da bu asimetriyi dengeler.

Üç katmanlı okuma

Birinci katman, sözleşmenin mekaniğidir. Varyans swap, oynaklığın karesini takas eder. Doğrusal değildir, convexity taşır, bu yüzden fiyatlaması opsiyon portföyüne benzer. Getiri profili karesel bir eğri izler ve bu eğri, sözleşmeyi bir tür "oynaklık call'u" gibi davranmaya iter. Vega notional ile varyans notional arasındaki dönüşüm, pozisyon boyutlamasının temelidir.

İkinci katman, piyasa mikroyapısıdır. Strike, teorik değerinden sapar çünkü varyans risk primi, jump riski ve likidite koşulları fiyata girer. Sapmalar, sakin piyasalarda sistematik hale gelir. Gözlem sıklığı, eksik gün muamelesi ve ağırlıklandırma şeması gibi teknik detaylar, uzlaşma değerini %2-3 puan oynatabilir.

Üçüncü katman, karşı taraf riskidir. 2008'in dersi budur. Model ne kadar zarif olursa olsun, karşı tarafın ödeme gücü modelin dışındadır. Varyans swap, oynaklık riskini transfer eder ama kredi riskini ortadan kaldırmaz. Korelasyon kırılmaları ise dördüncü, çoğu zaman görünmez bir katman olarak pozisyonun altında yatar.

Varyans swap, oynaklığı saf haliyle alıp satmanın en zarif yoludur. Ama zarafet, güvenlik anlamına gelmez.